计量经济学笔记（2）：假设检验、t 统计量、p 值

假设我们利用最小二乘方法，想要研究学校的规模（ enroll ）对学生数学成绩（ math ）的影响，并加入学校的教职工人数（ staff ）和教师平均年薪（ totcomp ）作为控制变量，基于一个观测值个数为408（ n=408 ）的样本，我们得到了如下方程（课本中的 EXAMPLE 4.2）：

math=2.274+0.00046\ totcomp + 0.048\ staff - 0.0020\ enroll

我们观察到，主要解释变量——学校规模的系数是 -0.0020，我们仅仅基于此就得出学校规模越大、学生的数学成绩越低的结论呢？不太能，很显然，我们现在进行的工作是用一个样本去估计总体的性质， \hat\beta_{enroll} 是一个估计量（estimator，估计量不是一个数，而是一个表达式、是函数），这里的 -0.0020 只是该估计量的一次实现值。因此，我们希望知道 \hat\beta_{enroll} 的抽样分布（sampling distribution），并结合研究这个 -0.0020 的值在这个分布下，是否足以说明，在总体回归中，学校规模对学生数学成绩的影响是负的。

在中心极限定理以及满足高斯-马尔可夫假定、同方差假定以及干扰项服从标准正态分布的情况下，统计量 (\hat{\beta_j}-\beta_j)/se(\hat{\beta_j}) 服从自由度为 n-k-1 的 t 分布（这里，下标 j 代表自变量 x_j ， \beta_j 是总体参数， \hat{\beta_j} 是这个总体参数的估计量），至于为什么这个统计量服从的是 t 分布，证明是较为困难的，可以简单理解为图1的过程，但应该注意到，由于样本标准误是总体标准差的估计量，这个 t 统计量衡量的是以标准差为单位，估计量 \hat\beta_{enroll} 与总体参数 \beta_j 之间的偏离程度。

所以 t 检验的本质和直观理解是，一旦我们设定了回归方程的变量（获得包含常数项的变量个数 k+1 ），并获得了样本数据（获得 n 的具体值），我们就确定了上述 t 分布的自由度，在对总体参数进行假定后，可以根据自由度画出如图 2 所示的分布图。举个例子具体说明，比如说现在我们的数据有104个观测值（n = 104），回归方程中有三个自变量和一个常数项（k + 1 = 4），那么此时自由度为 n-k-1=100 ，统计量 (\hat{\beta_j}-\beta_j)/se(\hat{\beta_j}) 服从自由度为 100 的 t 分布。如果我们认为总体参数 \beta_j 是10，那么在根据OLS计算得出 \hat\beta_{enroll} 后，我们就可以直接算出这一次抽样的 t 值，如果这个 t 值非常靠近分布的两侧尾端，那说明仅仅在一次抽样中就发生了小概率事件（我们认为的基本原则是，小概率事件在一次实验中不可能发生，所以，正常来说，t 值应该大概率分布在 0 值周围，而不是极端值），那我们就有理由认为总体参数不是 10，从而拒绝原先对总体参数的假设。那么，这一次实现的 t 值要有多极端才能有理由说明总体参数可能根本就不是 10 呢？我们需要确定一个拒绝原假设的规则，这个规则的选定就是显著性水平（significance level）。

假定我们的原假设是 H_0:\beta_{j}=0 ，备择假设是 H_1:\beta_{j}>0

如果我们想拒绝原假设，接受备择假设，也就是希望 \beta_j 是大于 0 的，那么根据回归得到的 \hat\beta_j 以及相应的 t_{\hat\beta_j} ，如果 \hat\beta_j 足够大，从而 t_{\hat\beta_j} 足够大，那我们就更能说明系数实质上是大于 0 的。也就是说，我们把拒绝的规则设定为如果 t_{\hat\beta_j}>c ，我们就拒绝原假设并认为系数大于 0。进一步，我们把这个阈值 c 进行统一，如果 c 是 5%分位数，那么显著性水平就是 5%，如果 t_{\hat\beta_j} 比这个 5% 分位数还要极端，那我们就拒绝原假设。同理，还可以设定常见的 10%、15%的显著性水平。个人理解，显著性水平事实上就是一个设定，是对”极端值“的定义水平。

还是用例子来理解（课本中的 EXAMPLE 4.1），假设我们有如下的回归方程：

log(wage)=.284+.092\ educ+.0041\ exper+.022\ tenure \

其中，样本量 n=526 ， se(\hat\beta_{exper})=0.0017 ，若原假设为 H_0:\beta_{exper}=0 、备择假设为 H_1:\beta_{exper}>0 ，那么，对该对假设进行假设检验的步骤如下：

1、计算 t 值

t=\frac{\hat\beta_{exper}-\beta_{exper}}{se(\hat\beta_{exper})}=\frac{0.041-0}{0.017}\approx2.41

2、计算自由度，并根据显著性水平计算 t 值的临界值 c（critical value）

自由度 df = 526 - 3 - 1 = 522 ，计算各种显著性水平下的临界值，这里可以用 Stata 使用di (display) 命令结合 invttail() 函数来查询t分布的临界值：

输出的结果分别为 1.6477779 和 2.3335127，由于 t=2.41>c_{1\%}=2.33 ，所以，该系数在 1% 的显著性水平上，显著大于 0 。

在没有明确地指明备择假设时，我们通常都认为备择假设时双边的，同时，Stata 回归中报告的 p 值（第4节内容）都是检验参数为 0 的双边备择假设。

双边备择假设也很好理解，在 3.1 节的单边备择假设检验中，我们只关心系数是否”极左“”极右“。如果原假设是参数等于 0 ，备择假设是参数大于零，那么只有在 t 值比较大、在 t 分布的右端，我们才能有理由拒绝原假设（备择假设为参数小于零的情况同理）。然而，在双边假设检验下，备择假设为 H_1:\beta_j\ne0 只要 t 值靠近两端，我们就有理由说总体参数不是 0，这时候，拒绝的规则就会变为 |t_{\hat\beta_j}|>c ，而这里的临界值相对于单边假设检验而言，就要做出显著性水平减半的调整，这里不再详细举例说明。

大多数计量经济学教科书对 p 值的定义为：给定 t 统计量的观测值，拒绝原假设的最小显著性水平。

各大教科书对 p 值的数学定义和解释都很详细（这里不再详细阐述数学的部分），但似乎缺乏一些直观的理解，下面以双边备择假设检验为例，分享一下个人对 p 值的直观理解：

如图3，假设我们已经计算出来的双边假设检验的 t 值是如上图所示的 1.85，那么 p 值在双边备择假设的情况下，就是 t 统计量的绝对值分布在 1.85 两侧的概率，即图中的蓝色面积部分。至于为什么说， p 值的定义为：给定 t 统计量的观测值，拒绝原假设的最小显著性水平，可以这样理解：

根据自由度，我们先分别计算各个显著性水平对应的临界值，并在分布图中标注出来（图中的紫色线和绿色线），如果要在 5% 的水平下拒绝原假设，那么，t 统计量的观测值要落入紫色线的外侧（拒绝域），橙色线（10%显著水平）也是如此。现在，t 值为 1.85，落入了 10% 显著性水平的拒绝域，所以我们能在 10% 的水平下拒绝原假设。所以，只有 p 值比拒绝域对应的概率大，才能拒绝原假设，这就解释了为什么p 值的定义为：给定 t 统计量的观测值，拒绝原假设的最小显著性水平。

再浅显一点，说白了，“给定 t 统计量的观测值”，就是说，要根据回归得到的系数的估计值、标准误以及假定的总体参数，按图1中的公式 [4.3] 计算 t 值；只有这个观测值比显著性水平对应的临界值更极端（在双边备择假设下，就是位于临界值的右侧），我们才能拒绝原假设，即“p值是拒绝原假设的最小显著性水平”。